§
3
可逆矩阵
一、
可逆矩阵的定义及性质
定义
3.1
设A
∈Mn
（F
）,
若存在同阶矩阵
B
，使AB=BA=E
，则称A
为可逆矩阵，
B
为A
的逆矩阵，简称为
A
的逆，记为
B= A-1
。
如果A
是可逆矩阵，那么
A
的逆是唯一的。这是因为当
B
，C
都是A
的逆时，有
AB=BA=E=AC=CA
，
B=BE=B
（AC
）=
（BAC=EC=C
。
可逆矩阵的性质：
1
、
=A
；
2
、
如果A
可逆，数λ≠
0
，那么 (
A)-1=
A-1
；
3
、
如果A
可逆，那么,A
T
也可逆，而且
( AT
)-1=( A-1)T
；
4
、
如果A
，B
皆可逆，那么
AB
也可逆，且(AB)
-1=B-1A-1
。
两个n
阶矩阵A
与B
的乘积AB=E
时，一定有BA=E
，从而A
，B
互为逆矩阵。
二、
矩阵的标准形
定义3.2
如果矩阵A
经过有限次行（列）初等变换变为矩阵
B
，就称A
行（列）等价于
B
。如果矩阵A
经过有限次初等变换变为
B
，就称矩阵A
等价于矩阵B
，记为
。
矩阵的行等价（列等价、等价）满足如下定律：
1
自反律
；
2
对称律
如果
那么
；
3
传递律
如果
，
，那么，
。
在数学中，把具有上述三条规律的关系称为等价关系。因此矩阵的等价是一种等价关系。
定义3.3
一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边，同时，没有一个非零行出现在全零行的下方，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。
定理3.2
任何一个矩阵
A
都行等价于一个阶梯形矩阵。
定义3.4
一个阶梯形矩阵，如果它的每一非零行的首元素是
1
，且首元素所在列的其余元素全是零，就称为简化阶梯形矩阵。
定理3.3
任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵。
定理3.4
任何一个非零矩阵
A
∈Mm
×
n
（F
）可经过有限次初等变换化为下面形似的矩阵：
=
,
1
≤r
≤min(m,n),
它称为矩阵A
的标准形。
因此每个矩阵
A
与它的标准形等价。
推论3.5
任意一个非零矩阵
A
∈Mm
×
n
（F
）
，一定存在m
阶可逆阵P
和n
阶可逆阵Q
，使
PAQ=
，
其中
，
是A
的标准形。
推论3.6
设A
，B
∈Mm
×
n
（F
）,A
与B
等价的充要条件是
AB
有相同的标准形。
三
用行初等变换求逆矩阵
定理3.7
设A
为n
阶矩阵，下列叙述等价：
1
、 A
是可逆阵；
2
、 A
行等价于单位阵
E
；
3
、A
可表示为一些初等矩阵的乘积。
四
矩阵方程
当A
可逆时可用矩阵的逆求解矩阵方程
AX=B
。设A
为n
阶可逆阵，X
∈
Mm
×
n
（F
）,
B
∈Mm
×
n
（F
） ,
则对AX=B
两边左乘A
-1
，有X=
A-1B
。由于A
-1
（A
，B
）=
（E
，A-1
B
）而
A-1
可表示为一些初等矩阵的乘积，所以把分块矩阵（
A
，B
）进行行初等变换时，在把子块
A
变为E
的同时，子块
B
也就变为
A-1
B
，这就是要求的
X
。当然也可以有
A
先求出A
-1
，再作矩阵乘法
A-1B
。
在解矩阵方程
XA=B
时，则要右乘
A-1
，既X=B
A-1
。或者通过解方程
ATX
T = BT
。先求出X
T
，然后就可以求出
X
。
.